2.3.1. Последовательный поиск

Задача поиска. Пусть заданы линейные списки: список элементов В=<К1,К2,К3,...,Кn> и список ключей V= (в простейшем случае это целые числа). Требуется для каждого значения Vi из V найти множество всех совпадающих с ним элементов из В. Чаще всего встречается ситуация когда V содержит один элемент, а в В имеется не более одного такого элемента.

Эффективность некоторого алгоритма поиска А оценивается максимальным Max{А} и средним Avg{А} количествами сравнений, необходимых для нахождения элемента V в В. Если Pi - относительная частота использования элемента Кi в В, а Si - количество сравнений, необходимое для его поиска, то

                                                 n
       Max{А} = max{ Si, i=1,n }  ;    Avg{А} =    Pi Si .
                                                i=1

Последовательный поиск предусматривает последовательный просмотр всех элементов списка В в порядке их расположения, пока не найдется элемент равный V. Если достоверно неизвестно, что такой элемент имеется в списке, то необходимо следить за тем, чтобы поиск не вышел за пределы списка, что достигается использованием стоппера.

Очевидно, что Max последовательного поиска равен N. Если частота использования каждого элемента списка одинакова, т.е. P=1/N, то Avg последовательного поиска равно N/2. При различной частоте использования элементов Avg можно улучшить, если поместить часто встречаемые элементы в начало списка.

Пусть во входном потоке задано 100 целых чисел К1,К2,... К100 и ключ V. Составим программу для последовательного хранения элементов Кi и поиска среди них элемента, равного V, причем такого элемента может и не быть в списке. Без использования стоппера программа может быть реализована следующим образом:

       /*    последовательный поиск без стоппера    */
       #include 
       main()
       {
       int k[100],v,i;
       for (i=0;i<100;i++)
       scanf("%d",&k[i]);
       scanf("%d",&v);
       i=0;
       while(k[i]!=v && i<100) i++;
       if (k[i]==v) printf("%d %d",v,i);
       else printf("%d не найден",v);
       }

С использованием стоппера программу можно записать в виде:

       /*  последовательный поиск со стоппером    */
       #include 
       main()
       {
       int k[101],v,i;
       for (i=0;i<100;i++)
       scanf("%d",&k[i]);             /*   ввод данных  */
       scanf("%d",&v);
       k[100]=v;                      /*   стоппер      */
       i=0;
       while(k[i]!=v) i++;
       if (i<100) printf ("%d %d",v,i);
       else printf ("%d не найден",v);
       }

2.3.2. Бинарный поиск

Для упорядоченных линейных списков существуют более эффективные алгоритмы поиска, хотя и для таких списков применим последовательный поиск. Бинарный поиск состоит в том, что ключ V сравнивается со средним элементом списка. Если эти значения окажутся равными, то искомый элемент найден, в противном случае поиск продолжается в одной из половин списка.

Нахождение элемента бинарным поиском осуществляется очень быстро. Max бинарного поиска равен log2(N), и при одинаковой частоте использования каждого элемента Avg бинарного поиска равен log2(N). Недостаток бинарного поиска заключается в необходимости последовательного хранения списка, что усложняет операции добавления и исключения элементов .

Пусть, например, во входном потоке задано 101 число, К1,К2,...,К100, V - элементы списка и ключ. Известно, что список упорядочен по возрастанию, и элемент V в списке имеется. Составим программу для ввода данных и осуществления бинарного поиска ключа V в списке К1,К2,...,К100.

     /*    Бинарный поиск      */
     #include 
     main()
     {
     int k[100],v,i,j,m;
     for (i=0;i<100;i++)
     scanf("%d",&k[i]);
     scanf("%d",&v);
     i=0;   j=100;   m=50;
     while (k[m]!=v)
        {
        if (k[m] < v)  i+=m;
        else j=m-i;
        m=(i+j)/2;
        }
     printf("%d  %d",v,m);
     }

2.3.3. М-блочный поиск

Этот способ удобен при индексном хранении списка. Предполагается, что исходный упорядоченный список B длины N разбит на M подсписков B1,B2,...,Bm длины N1,N2,...,Nm, таким образом, что B=B1,B2,..,Bm.

Для нахождения ключа V, нужно сначала определить первый из списков Bi, i=1,M, последний элемент которого больше V, а потом применить последовательный поиск к списку Bi.

Хранение списков Bi может быть связным или последовательным. Если длины всех подсписков приблизительно равны и M= N, то Max М-блочного поиска равен 2 N. При одинаковой частоте использования элементов Avg М-блочного поиска равен N.

Описанный алгоритм усложняется, если не известно, действительно ли в списке имеется элемент, совпадающий с ключом V. При этом возможны случаи: либо такого элемента в списке нет, либо их несколько.

Если вместо ключа V имеется упорядоченный список ключей, то последовательный или М-блочный поиск может оказаться более удобным, чем бинарный, поскольку не требуется повторной инициализации для каждого нового ключа из списка V.

2.3.4. Методы вычисления адреса

Методы вычисления адреса. Пусть в каждом из М элементов массива Т содержится элемент списка (например целое положительное число). Если имеется некоторая функция H(V), вычисляющая однозначно по элементу V его адрес - целое положительное число из интервала [0,M-1],то V можно хранить в массиве T с номером H(V) т.е. V=T(H(V)). При таком хранении поиск любого элемента происходит за постоянное время не зависящее от M.

Массив T называется массивом хеширования, а функция H - функцией хеширования.

При конкретном применении хеширования обычно имеется определенная область возможных значений элементов списка V и некоторая информация о них. На основе этого выбирается размер массива хеширования M и строится функция хеширования. Критерием для выбора M и H является возможность их эффективного использования.

Пусть нужно хранить линейный список из элементов K1,K2,..,Kn, таких, что при Ki=Kj, mod(Ki,26)= mod(Kj,26). Для хранения списка выберем массив хеширования T(26) с пространством адресов 0-25 и функцию хеширования H(V)= mod(V,26). Массив T заполняется элементами T(H(Ki))=Ki и T(j)=0 если j (H(K1), H(K2),..,H(Kn)).

Поиск элемента V в массиве T с присваиванием Z его индекса если V содержится в T, или -1, если V не содержится в T, осуществляется следующим образом

        int t[26],v,z,i;
        i=(int)fmod((double)v,26.0);
        if(t[i]==v) z=i;
        else z=-1;

Добавление нового элемента V в список с возвращением в Z индекса элемента, где он будет храниться, реализуется фрагментом

        z=(int)fmod((doule)v,26.0);
        t[z]=v;

а исключение элемента V из списка присваиванием

        t[(int)fmod((double)v,26)]=0;

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда условие Ki=Kj H(Ki)=H(Kj) не выполняется. Пусть V - множество возможных элементов списка (целые положительные числа), в котором максимальное число элементов равно 6. Возьмем M=8 и в качестве функции хеширования выберем функцию H(V)=Mod(V,8).

Предположим, что B=, причем H(K1)=5, H(K2)=3, H(K3)=6, H(K4)=3, H(K5)=1, т.е. H(K2)=H(K4) хотя K2=K4. Такая ситуация называется коллизией, и в этом случае при заполнении массива хеширования требуется метод для ее разрешения. Обычно выбирается первая свободная ячейка за собственным адресом. Для нашего случая массив T[8] может иметь вид

         T=<0,K5,0,K2,K4,K1,K3,0> .

При наличии коллизий усложняются все алгоритмы работы с массивом хеширования. Рассмотрим работу с массивом T[100], т.е. с пространством адресов от 0 до 99. Пусть количество элементов N не более 99, тогда в T всегда будет хотя бы один свободный элемент равный нулю. Для объявления массива используем оператор

            int static t[100];

Добавление в массив T нового элемента Z с занесением его адреса в I и числа элементов в N выполняется так:

        i=h(z);
        while (t[i]!=0 && t[i]!=z)
        if (i==99) i=0;
        else i++;
        if (t[i]!=z)  t[i]=z,  n++;

Поиск в массиве T элемента Z с присвоением I индекса Z, если Z имеется в T, или I=-1, если такого элемента нет, реализуется следующим образом:

        i=h(z);
        while (t[i]!=0 && t[i]!=z)
        if (i==99) i=0;
        else i++;
        if (t[i]==0) i=-1;

При наличии коллизий исключение элемента из списка путем пометки его как пустого, т.е. t[i]=0, может привести к ошибке. Например, если из списка B исключить элемент K2, то получим массив хеширования в виде T=<0,K5,0,0,K4,K1,K3,0>, в котором невозможно найти элемент K4, поскольку H(K4)=3, а T(3)=0. В таких случаях при исключении элемента из списка можно записывать в массив хеширования некоторое значение непринадлежащее области значений элементов списка и не равное нулю. При работе с таким массивом это значение будет указывать на то, что нужно просматривать со средние ячейки.

Достоинство методов вычисления адреса состоит в том, что они самые быстрые, а недостаток в том, что порядок элементов в массиве T не совпадает с их порядком в списке, кроме того довольно сложно осуществить динамическое расширение массива T.

2.3.5. Выбор в линейных списках

Задача выбора. Задан линейный список целых, различных по значению чисел B=, требуется найти элемент, имеющий i-тое наибольшее значение в порядке убывания элементов. При i=1 задача эквивалентна поиску максимального элемента, при i=2 поиску элемента с вторым наибольшим значением.

Поставленная задача может быть получена из задачи поиска j-того минимального значения заменой i=n-j+1 и поиском i-того максимального значения. Особый интерес представляет задача выбора при i=a/n, 0<a<1, в частности, задача выбора медианы при a=1/2.

Все варианты задачи выбора легко решаются, если список B полностью отсортирован, тогда просто нужно выбрать i-тый элемент. Однако в результате полной сортировки списка B получается больше информации, чем требуется для решения поставленной задачи.

Количество действий можно уменьшить применяя сортировку выбором только частично до i-того элемента. Это можно сделать, напри мер при помощи функции findi

       /*  выбор путем частичной сортировки  */
       int findi(int *s, int n, int i)
       {
          int c,j,k;
          for (k=0; k<=i; k++)
          for (j=k+1; j<=n; j++)
          if (s[k] < s[j])
          {  c=s[k];
             s[k]=s[j];
             s[j]=c;
          }
          return s[i];
       }

Эта функция ищет элемент с индексом i, частично сортируя массив s, и выполняет при этом (n*i) сравнений. Отсюда следует, что функция findi приемлима для решения задачи при малом значении i, и малоэффективна при нахождении медианы.

Для решения задачи выбора i-того наибольшего значения в списке B модифицируем алгоритм быстрой сортировки. Список B разбиваем элементом K1 на подсписки B' и B", такие, что если Ki -B', то Ki>K1, и если Ki - B", то Ki<K1, и список B реорганизуется в список B',K1,B". Если K1 элемент располагается в списке на j-том месте и j=i, то искомый элемент найден. При j>i наибольшее значение ищется в списке B'; при j<i будем искать (i-j) значение в подсписке B".

Алгоритм выбора на базе быстрой сортировки в общем эффективен, но для улучшения алгоритма необходимо, чтобы разбиение списка на подсписки осуществлялось почти пополам. Следующий алгоритм эффективно решает задачу выбора i-того наибольшего элемента в списке B, деля его на подсписки примерно равной величины.

1. Если N<21, то выбрать i-тый наибольший элемент списка B обычной сортировкой.

2. Если N>21 разделим список на P=N/7 подсписков по 7 элементов в каждом, кроме последнего в котором mod(N,7) элементов.

3. Определим список W из медиан полученных подсписков (четвертых наибольших значений) и найдем в W его медиану M (рекурсивно при помощи данного алгоритма) т.е. (P/2+1)-й наибольший элемент.

4. С помощью элемента M разобьем список B на два подсписка B' с j элементами большими или равными M, и B" c N-j элементами меньшими M. При j>i повторим процедуру поиска сначала, но только в подсписке B'. При j=i искомый элемент найден, равен M и поиск прекращается. При j < i будем искать (i-j)-тый наибольший элемент в списке B".

     /*   алгоритм выбора делением списка почти пополам   */
     int search (int *b, int n, int i)
     {
      int findi(int  *, int, int);
      int t, m, j, p, s, *w;
      if (n<21) return findi(b, n, i);    /*   шаг 1        */
      p=(int)(n/7);
      w=calloc(p+1,sizeof(int));          /*   шаги 2 и 3   */
      for (t=0; t < p; t++)
      w[t]=findi(b+7*t, 7, 3);
      if (n%7!=0)
         {   w[p]=findi(b+7*p,n%7,(n%7)/2);
             p++;
         }
      m=search(w, p, p/2);
      free (w);
      for (j=0, t=0; t < n; t++)            /*    шаг 4       */
      if (b[t]>=m) j++;
        if (j>i)
        {
          for (p=0, t=0; p < n; t++)
          if (b[t]>=m)
          { b[p]=b[t]; p++; }
          m=search(b, j, i);             /*   поиск в B"    */
        }
        if (j < i)
        {
          for (p=0, t=0; t < n; t++)
            if (b[t] < m)     b[p++]=b[t];
            m=search(b, n-j, i-j);       /*   поиск в B"    */
        }
      return m;
     }

Рекурсивная функция search реализует алгоритм выбора i-того наибольшего значения. Для ее вызова можно использовать следующую программу

     #include 
     #include 
     main()
     {
       int search (int *b, int n, int i);
       int *b;
       int l, i, k, t;
       scanf("%d%d",&l,&i);
       printf
       ("\nВыбор %d максимального элемента из %d штук",i,l);
       b=(int *)(calloc(100,sizeof(int)));
       for (k=0; k<100; k++)
       b[k]=k;                         /* заполнение массива */
       for (k=1; k < l/4; k++)
           { t=b[k];                   /* перемешивание      */
             b[k]=b[l-k];              /* массива            */
             b[l-k]=t;
           }
       k=search(b,l,i);                /* выбор  элемента    */
       printf ("\n выбран элемент равный %d\n\n",k);
       return 0;
     }

Используя метод математической индукции, можно доказать, что для функции search требуется выполнить в самом неблагоприятном случае 28*N сравнений.

Действительно, если N<21, то выполнение функции findi потребует сравнений порядка N*(N-1)/2, т.е. меньше чем 28*N. Предположим, что для любого T<N количество сравнений при выполнении функции search не более 28*T и подсчитаем, сколько сравнений потребуется функции search при произвольном значении N. Для поиска медианы в каждом из подсписков функцией findi требуется не более 7*(7-1)/2=21 сравнений, а для формирования массива W в целом не более 21*(N/7)=3*N сравнений. По предположению индукции для поиска медианы в массиве W длины N/7 требуется 28*(N/7)=4*N сравнений. После удаления из B части элементов с помощью медианы в B' (или в B") останется не более N*5/7 элементов, и для удаления ненужных элементов необходимо количество сравнений порядка N. Для поиска в оставшейся части массива (в B' или B") по предположению индукции требуется не более 28*(N*5/7)=20*N сравнений. Таким образом, всего потребуется 3*N+4*N+N+20*N=28*N сравнений, т.е. выдвинутое предположение доказано.